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第 10 章 移动与足式机器人运动学

前九章以机械臂为主，换成地面机器人的移动性（mobility）：轮式与足式平台各有运动学约束，决定"能往哪走、怎么走"。核心概念是非完整约束（nonholonomic constraint）——限制速度而非位置的微分约束，它使差速/前轮转向底盘虽不能横移却能靠一串前进+转向达成任意位姿。内容包括轮式约束的 Pfaffian 形式、差速与全向底盘模型、转向几何与瞬时旋转中心，以及足式的支撑多边形静态稳定与 ZMP。里程计观测器与位姿融合不属这一层，归 control-note。

1. 轮式运动学约束

轮式底盘靠轮地接触摩擦产生运动，理想化有两条约束：滚动不滑移（轮只沿接触点切向前进，不打滑）与侧向不滑移（轮不能横着滑）。它们限制了底盘的瞬时速度，而非允许到达的位置集合。按轮型不同：

  • 标准轮（standard wheel）：只沿轮面朝向前滚，横滑被禁止——典型非完整约束。
  • 前轮转向（如汽车，Ackermann）：前轮定航向、后轮随动，两轴都不可横滑。
  • 全向轮 / 麦克纳姆轮（omni / Mecanum）：允许沿轮轴横向自由滑移，横滑约束被解除。
  • 球轮（spherical）：可朝任意方向滚，无侧滑约束。

约束的有无与个数直接决定底盘的自由度与小时间可控性，是后续建模的出发点。

轮子尺寸与布置定下两个基础量：轮半径 \(r\) 把轮速换成线速度，轮距半宽 \(b\) 把差速换成角速度；两者一旦确定，底盘的速度/角速度上限就由电机转速与轮地附着共同封住，后续模型只是在换算这两条边界。麦克纳姆轮的辊子斜置能产生横向分力，代价是同载荷下的有效牵引下降、辊子滑移带振动与里程误差——全向的运动自由度是用摩擦损失换来的。

轮式与足式两条运动学约束路线：

flowchart LR
    wheel["轮式底盘<br/>差速 / 前轮转向"] --> lim["非完整约束<br/>限制速度而非位置"]
    lim --> pf["Pfaffian 形式 A(q) q̇ = 0"]
    pf --> lie["李括号 [X₁, X₂]<br/>生成约束外方向"]
    lie --> ctrl["小时间可控<br/>原地转 → 前进 → 原地转"]
    foot["足式平台<br/>支撑多边形与 ZMP"] --> stab["静态稳定判据"]

2. 非完整约束与 Pfaffian 形式

轮式约束一般写成对速度的线性齐次方程（Pfaffian 形式）

\[ A(q)\,\dot q = 0, \]

\(q\) 为位形、\(\dot q\) 为位形速度。可积（holonomic）当且仅当存在位置函数 \(f(q)=c\) 使 \(A\dot q=0\) 恰是它沿运动的时间导数；否则为非完整（nonholonomic）。判据用 Frobenius / 李括号：把约束解成允许速度分布 \(D=\ker A\)，若 \(D\) 对李括号封闭则可积，若加上括号方向后秩增大（括号生成）则非完整。

差速/unicycle 底盘位形 \(q=(x,y,\theta)\)，滚动约束 \(-\sin\theta\,\dot x+\cos\theta\,\dot y=0\)，允许速度分布 \(D=\mathrm{span}\{X_1=(\cos\theta,\sin\theta,0),\,X_2=(0,0,1)\}\)。

## θ=30°：rank(D)=2，加入李括号 [X1,X2]=(0.5,-0.866,0) 后 rank=3
## 括号方向不在 D 内 -> 非完整（Chow 括号生成 -> 小时间可控）

\([X_1,X_2]\) 落在 \(D\) 之外使括号生成秩升到 3——既证明约束不可积，又由 Chow–Rashevskii 定理保证任意位姿可达。所以差速底盘是非完整约束（nonholonomic）系统：它受滚动约束限制瞬时侧移，却能靠机动间接横移。

## 横向平移机动（原地转90° → 前进1 → 原地转-90°）：
##   末位形 (x,y,θ)=(0, 1.000, 0)，全程约束残差 max=0.0

一段"转—进—转"的机动让底盘净横移 \(1.0\) 而航向复原、全程满足 \(-\sin\theta\dot x+\cos\theta\dot y=0\)（残差 \(0.0\)）——位置可横移、速度却从不横滑，正是非完整约束的特征。第 9 章的带运动模型规划处理的正是这类约束。

3. 差速与全向底盘模型

差速驱动（differential drive）用左右两轮转速 \(\dot\varphi_r,\dot\varphi_l\)（轮半径 \(r\)、轮距半宽 \(b\)）作输入，得到

\[ \begin{bmatrix}\dot x\\ \dot y\\ \dot\theta\end{bmatrix}=\frac{r}{2}\begin{bmatrix}\cos\theta&\cos\theta\\ \sin\theta&\sin\theta\\ -1/b&1/b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot\varphi_r\\ \dot\varphi_l\end{bmatrix},\quad v=\tfrac{r}{2}(\dot\varphi_r+\dot\varphi_l),\ \ \omega=\tfrac{r}{2b}(\dot\varphi_l-\dot\varphi_r). \]

两输入直接生成前进速度 \(v\) 与角速度 \(\omega\)，任意 \(v,\omega\) 可达（故小时间可控）。全向底盘（omni/Mecanum）解除横滑约束，\((\dot x,\dot y,\omega)\) 三自由度独立可控，可原地横移、斜行，模型退化为位置速度均自由——约束消失，规划也更简单（不必像差速那样绕）。

“任意 \(v,\omega\) 可达”还要叠一层执行器约束：轮速上限 \(|\dot\varphi|\le\dot\varphi_{\max}\) 把可行的 \((v,\omega)\) 限成一个平行四边形，\(|v\pm b\omega|\le r\dot\varphi_{\max}\)。原地转向（\(v=0\)）时两轮反向，角速度上限是 \(r\dot\varphi_{\max}/b\)；纯直行时两轮同向，线速度上限是 \(r\dot\varphi_{\max}\)。所以“能原地转”与“能全速直行”不能同时取到，把这个区域画在规划里，比事后限幅更容易判路径是否可执行。

4. 转向几何与瞬时旋转中心

前轮转向（Ackermann）底盘作圆弧运动时，各轮速度方向垂直于该轮到某公共点的连线，该点即瞬时旋转中心（instantaneous center of rotation, ICR），落在后轴延长线上。轴距 \(L\)、前轮转向角 \(\delta\) 时转弯半径

\[ R=\frac{L}{\tan\delta}, \]

\(\delta\) 越大 \(R\) 越小，最小转弯半径决定底盘能在多窄的空间掉头。Ackermann 几何还要求内侧轮转角大于外侧（转向梯形），使四轮绕同一 ICR 纯滚动、不打滑。这类"常曲率圆弧 + 直线"的运动结构，正是第 9 章 Dubins / Reeds–Shepp 最短路径的几何基础。

5. 足式静态稳定与 ZMP

足式机器人靠离散足点支撑，稳定判据分静态与动态两层。静态稳定（quasi-static）要求质心（CoM）在水平面的投影落在支撑多边形（support polygon，着地足点连成的凸包）内——只要投影在内、摩擦足够，准静态下不翻。

## 三脚支撑多边形 [(0,0),(0.4,0),(0.2,0.5)]：
##   CoM(0.2,0.15) 在内 -> 稳定（inside=True）
##   CoM(0.5,0.6)  在外 -> 失稳（inside=False）

投影在支撑多边形内即稳定、越界即倾覆，凸包包含判定即可核验。但这只是静态判据，不足以保证动态稳定：它忽略惯量与地面反力分布，快速行走 / 跑跳时质心加速、足底摩擦有限，真正要保证的是零力矩点（zero moment point, ZMP）落在支撑多边形内——ZMP 是使足底合力矩水平分量为零的点，动态步态须约束 ZMP 始终在支撑区（甚至更小的支撑锥摩擦锥内）。倒立摆（linear inverted pendulum, LIP）模型把质心简化为支撑点上的单摆，是步态规划的常用抽象。

LIP 下 ZMP 与质心投影差一个加速度项：\(\text{ZMP}_x=x-\frac{z}{g}\ddot x\)（\(z\) 为质心高度）。质心匀速时两者重合，加速时 ZMP 向运动反方向偏、减速时向前偏；质心越高、加速度越大偏得越多，这也解释了高重心平台为何更怕急停。步态规划常用这条关系直接判“质心轨迹会不会把 ZMP 推出支撑区”，不必解完整动力学。

6. 要点

  • 轮式约束来自滚动不滑移 + 侧向不滑移，限速度不限位置；轮型（标准 / 前轮转向 / 全向 / 球轮）决定约束个数与可控性。
  • 约束写成 Pfaffian \(A(q)\dot q=0\)：可积为完整、否则非完整；李括号生成（rank 2→3）判非完整且小时间可控，差速"转—进—转"净横移而约束恒成立。
  • 差速两输入生成 \((v,\omega)\) 任意可达；全向解除横滑、\((\dot x,\dot y,\omega)\) 独立可控。
  • 前轮转向有 ICR 在后轴延长线、\(R=L/\tan\delta\)，是 Dubins/Reeds–Shepp 的几何基元。
  • 足式静态稳定看 CoM 投影是否在支撑多边形内，动态须 ZMP 落入支撑锥——静态的“重心在内即稳”不外推到动态步态。观测器与位姿融合交 control-note。

参考文献与延伸阅读

  • Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer, 2009. DOI
  • Lynch, K. M., & Park, F. C. Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control. Cambridge University Press, 2017. 书籍主页
  • Siegwart, R., Nourbakhsh, I. R., & Scaramuzza, D. Introduction to Autonomous Mobile Robots (2nd ed.). MIT Press, 2011.