第 3 章 PID 工程¶

PID 是机器人回路里出现频率最高的控制器，也是最容易被"参数表化"误读的控制器：三个增益背后是六个工程决策——整定方法、积分抗饱和、微分作用对象与滤波、串级与前馈、离散实现、采样率与噪声。本章按「经典整定与局限 → 工程修正 → 离散实现与 dt 卫生」三段，用最小仿真逐一说清这些决策。运行环境 python 3.11 + control 0.10.2。

三项各自的作用对象与工程修正的位置：

flowchart LR
    e["误差 e"] --> p["P：刚度"]
    e --> i["I：消静差"]
    e --> d["D：阻尼<br/>带滤波 / 微分先行"]
    i --> anti["积分抗饱和"]
    p --> out["u = P + I + D"]
    anti --> out
    d --> out
    out --> lim["限幅 / 串级 / 前馈"]

1. 三项各自的职责与自由度¶

位置式离散 PID（采样周期 \(dt\)，误差 \(e_k=r-y_k\)）：

integ += e*dt                        # 积分项
deriv  = (e - e_prev)/dt             # 微分项（对误差；工程上常改为对测量，见「微分先行」一节）
u      = Kp*e + Ki*integ + Kd*deriv  # 输出

三项职责可以用对象形态一句话对上：P 提供弹性（对双积分对象只加弹性不加阻尼，见第 2 章「执行器与刚体模型」）、I 消静差（把型别提一阶）、D 补阻尼（在速度通道上加虚拟摩擦）。自由度共三个（有的实现带微分滤波系数 \(N\) 共四个），但"三个数"不等于"三次试凑"——整定的对象是闭环极点分布与裕度，参数表只是把这对关系近似成口诀。

2. 经典整定法与它们的适用局限¶

ZN 开环阶跃响应法（step-response，查反应曲线四参数表）：开环阶跃测出 FOPDT 三参数（增益 \(K\)、时间常数 \(\tau\)、纯滞后 \(L\)），查表 \(K_p=0.9\tau/(KL)\)、\(T_i=0.3\tau\)、\(T_d=0.075\tau\)。ZN 闭环法（ultimate cycle，接力率/临界比例度）：把 P 增益推到等幅振荡，取临界增益 \(K_u\) 与周期 \(P_u\) 查表。Cv（cycle-ratio）类变体把目标从 1/4 衰减改为更缓和的衰减率。一句话定位：ZN 族的目标点是高衰减度，换来的代价是超调与鲁棒性——对 \(K=2,\ \tau=0.5,\ L=0.1\) 的 FOPDT 对象：

ZN 反应曲线法:  Kp=2.250 Ti=0.150 Td=0.037
ZN 闭环（微分滤波 N=10）:  超调=96.3%  ts(2%)=2.00s
ZN 闭环（理想微分无滤波）:  超调=51.3%
lambda/IMC（PI, tau_l=2L）: Kp=3.500 Ti=0.500 -> 超调=90.5% ts(2%)=4.44s

两个读数都值得警惕：其一是 ZN 在本例给出的整定本来就激进（超调过半是 1/4 衰减设计的默认产物）；其二是微分滤波器同样进相位预算——同一组 ZN 参数，给微分加 \(N=10\) 的滤波把超调从 51% 推到 96%，因为滤波器在穿越频率附近又加了滞后而 ZN 表不知道。lambda 族把期望闭环时间常数 \(\tau_l\) 直接写进公式（\(K_p=(\tau+\tau_l)/(K L)\)），比查表口诀更可辩护，代价是响应更慢（ts 4.44s vs 2.0s）。

局限清单：ZN 族假设对象近似 FOPDT 且 \(L/\tau\) 小；对积分主导对象（机械关节）与和谐振的对象（长轴系）会给出振荡或失稳的参数；\(L/\tau>0.3\) 时超调失控。PID 参数并非万能——同一组 ZN 参数换一档 \(L/\tau\) 就从"快"变成"振"，正确结论是：经典表只提供起点，闭环指标必须自己仿真核验，而核验所需的频域语言正是第 4 章「频率域与鲁棒性」的主题。

3. 工程修正：抗饱和、微分滤波与微分先行¶

理想 PID 到能用的 PID，隔着四件修正。

3.1 抗积分饱和¶

执行器一律有量程。参考值超出能力或大阶跃瞬态中，\(u\) 被截幅而误差仍同向，积分器持续累积"未被执行的量"（windup），后果在参考回零时才暴露。对象 \(\frac{4}{0.5s+1}\)、执行器 ±1、参考 3→0 往返（3 在可达范围内，但瞬态必饱和）：

无抗饱和:   回零后最大下冲 = 1.000（等效反向满幅冲回），迟迟回不到带内
conditional: 饱和且误差同向时停止积分 -> 下冲 -0.038, 0.43s 回带
back-calculation: 把被削量按 Kb 退回积分器 -> 下冲 -0.114, 0.35s 回带

三种都是几行代码的差别，效果差一个量级。conditional 实现最直白；back-calculation 多一个可调 \(K_b\)，退回强度连续、对采样率不敏感。ros2_control 生态的标准实现（control_toolbox，ROS 2 Humble 3.7.1）走的是积分钳制一族：恒定饱和误差下指令封顶在 \(i_{\max}\)、误差反向立即退出且无退饱和滞后；选 back-calculation 的理由是退回强度连续，机器人上层控制器与驱动器各自取舍。判据一句话：只要 \(u\) 会被截幅，就必须给积分器一条泄放路径。

3.2 微分滤波¶

理想微分 \(K_d s\) 对噪声增益随频率线性发散，工程形态一律带低通：\(K_d s\to K_d s\frac{N}{s+N}\)，高频增益封顶在 \(K_d N\)。\(N\) 的扫描（\(K_p=1.5,K_i=1,K_d=0.2\)，同一 FOPDT 对象）：

N=   2: 微分通道最大增益=1.90   超调=1.8%  ts=4.24s
N=  10: 微分通道最大增益=3.50   超调=14.1% ts=4.19s
N= 100: 微分通道最大增益=21.50  超调=25.1% ts=4.18s

\(N\) 减小（滤波更重）时阻尼作用被削、超调下降是因为闭环变钝——真实取舍在噪声侧：编码器单拍量化噪声经微分通道的放大倍率是 \(K_d N\)（封顶后不再随 \(1/dt\) 发散）。常用起点 \(N=8\sim20\)（Åström-Hägglund 推荐 10～20），噪声大就往下压。

3.3 微分先行（derivative on measurement）¶

对误差做微分，设定值一有阶跃就产生冲击电流。同样的三路（\(K_d=0.3\)、\(dt=2\) ms），阶跃后原始指令序列：

微分对误差:   150.2  -0.4  0.4  -0.1 ...   ← 首拍 150：Kd*Δr/dt 的尖峰
微分对测量:     0.20  0.32  0.39  0.44 ...  ← 无冲击，平滑爬升

把微分作用改挂测量值 \(d_k=(y_{k-1}-y_k)/dt\)，跟踪与调节两自由度解耦，设定值变化不再经过微分通道。「微分项到底该不该开」因此有了精确版本：对测量开、带滤波、双积分对象必开（第 2 章「执行器与刚体模型」），纯一阶对象可整个关掉——一阶对象加 D 只换来噪声。

3.4 前馈¶

反馈只在误差出现之后动手；已知的需求（重力、摩擦、期望加速度）应当直接馈入。纯积分对象 \(\dot p=u-g\) 上常值扰动 \(g=1\)：

纯 P（Kp=4）:   稳态误差 = 0.2500（= g/Kp，I 未启用时静差按此式确定）
P + 精确前馈:   稳态误差 = 0.0000

前馈把"该给的量"给在误差之前，同一精度下反馈增益可以更低、噪声放大更小。机器人关节的重力前馈（\(G(q)\) 逐项）与惯量前馈（\(\ddot q_{ref}\cdot M\) 对角项）来源见 robotics-note 第 6 章「拉格朗日动力学与标准形式」；前馈误差直接进跟踪误差不进稳定裕度，这一性质在第 10 章「交互控制与模型预测」的接触场景同样使用。

4. 串级：把对象切成两层闭环¶

位置/速度串级（外环 P 输出速度参考、内环 PI 稳速度）解决的是扰动位置决定抑制成本的问题：扰动打在越靠内的环节，单环回路"看到"它时已经积分扩散。对象 \(u_1\to\frac{1}{0.05s+1}\to v\to\frac{1}{s}\to p\)，常值扰动直接注入 \(v\) 通道，串级（内环 PI 5/100 + 外环 P 10）与同外环增益的单环 P 对比：

p 最大偏移:  串级 0.00026   单环 0.00521   （19.9 倍）
IAE:         串级 0.00005   单环 0.00950   （约 190 倍）

串级把扰动抑制任务交给带宽高一个数量级的内环，外环只需慢而稳。这正是第 2 章「执行器与刚体模型」DS402 三环的存在理由；上位自建串级时，内环采样周期须显著短于外环（比值即内环对外的近似一阶带宽分离，同一套相位预算）。差速底盘的对照见 ROS2-note 第 6 章「驱动开发与运动控制」：diff_drive_controller 的速度闭环在驱动器/电机层，其上层只有外环——与本章仿真结构一一对应。

ros2_control（Humble ros2-controllers 2.54.1）的分层与这套结构一致：forward_command_controller 只把话题指令按 interface_name（effort/velocity/…）直转给硬件接口、自身无闭环；pid_controller 用 control_toolbox 的 PID 闭合状态环后输出 effort——闭环放哪一层是显式选择，不是接口的固有属性。

离散实现的信号链与两处回写：

flowchart LR
    set["设定值 r"] --> err["误差 e = r − y"]
    err --> pid["P + I(z) + D(z)<br/>ZOH / Tustin 离散化"]
    pid --> sat["输出限幅"]
    sat --> plant["对象"]
    plant --> y["测量 y"]
    y -.-> err
    sat -.->|"抗饱和回写"| pid
    dt["dt：控制周期 = 采样周期"] -.-> pid

5. 离散实现与 dt 卫生¶

连续 PID 进计算机的三件离散化事务：积分用矩形或梯形（Tustin），微分用后向差分并挂滤波，全部按实际周期执行。最小正确骨架：

def pid_step(e, dt, x):                       # x = [integ, e_prev]
    x[0] += e*dt                              # 积分：按真实 dt 累加
    d = (e - x[1])/dt                         # 微分：后向差分
    x[1] = e
    return Kp*e + Ki*x[0] + Kd*d

dt 卫生的反例——控制器内部写死名义 dt=0.01、实际以 0.012 跑（对象 \(\frac{2}{s+2}\)，同一组 PID）：

dt 一致:     t=15s 终值=0.99851   进入2%带最后越界 = 7.71s
dt 不一致:   t=15s 终值=0.99612   进入2%带最后越界 = 9.40s

终值都被 I 项拉回（静差不是问题），问题在瞬态：积分与微分的有效增益各失真 20%（\(K_i\) 偏大、\(K_d\) 偏小方向不一），响应变钝。更隐蔽的是抖动型失真：周期在 8–12 ms 间浮动时，微分通道按拍间误差差分直接放大抖动。规矩两条：控制周期由硬件定时器驱动并测量记录（周期抖动的系统侧治理见 linux-note 第 7 章「内核、启动与实时调优」）；dt 取测量值传入，不是常量。

采样率对微分噪声的放大也归此账：同一测量噪声 \(\sigma\)，微分项噪声增益 \(\approx K_d\,\sigma/dt\)——dt 从 10 ms 提到 1 ms，噪声标准差放大 10 倍而信号微分不变；提采样率必须同步重整定 \(K_d\)（或改用带滤波的差分形式），这是「提高采样率总是更好」不成立的一处具体位置。

6. 抖动与观测噪声下的取舍¶

把本章的噪声账合并成一张决策表（对象为机械关节时）：

症状	第一嫌疑	处置顺序
指令高频抖动	微分通道放大测量噪声	先降 \(K_d\)/加重滤波（小 \(N\)），再查编码器量化
换向点小幅极限环	库仑摩擦死区 + 积分累积	前馈 > 抗饱和 conditional > 死区补偿
大行程超调、回零砸	windup	back-calculation，核执行器量程是否算进模型
提采样率后反而抖	微分增益随 \(1/dt\) 失真	重整定 \(K_d\)，核对 dt 来源
周期 8–12 ms 浮动	系统调度抖动	实时优先级与周期治理（linux-note 第 7 章「内核、启动与实时调优」），算法侧改梯形积分

经验排序：机器人单关节上，模型项（重力/摩擦前馈）值 3 倍增益，抗饱和值 2 倍响应质量，\(K_d\) 精调值 20% 余量——调参的最后 10% 永远输给先把 dt 与噪声路径管对。对应靶子「调不好是噪声问题」的落锤结论：本清单里只有一行真凶是噪声，其余四行是模型与 dt 卫生。

7. 要点¶

ZN 表的目标是高衰减度不是低超调，且不知道微分滤波在加相位——同一组参数 51%→96% 的超调差就是它的手笔；\(L/\tau\) 大或对象含积分/谐振时经典表失效，起点归起点、闭环必须仿真核验。
只要输出会截幅就要给积分器泄放路径：conditional 与 back-calculation 把回零下冲从 1.0 压到 0.04 量级。
微分的工程形态是三件套：挂测量值（免设定值冲击 150:0.2）、带滤波（增益封顶 \(K_dN\)，\(N=8\sim20\) 起步）、双积分对象必开一阶对象可关。
前馈把已知需求给在误差之前：同一精度下反馈可以更低；常值扰动下 P+精确前馈稳态误差直接归零。
串级的收益按扰动位置计：内环带宽高一数量级时，同一扰动的偏移与 IAE 差约 20×/190×。
dt 是 PID 的第四参数：写死名义值让有效增益失真 20%、响应拖 1.7 s；提采样率须同步重整定微分。

参考文献与延伸阅读¶

Åström, K. J., & Hägglund, T. The Future of PID Control. Control Engineering Practice, 2001. DOI
Skogestad, S. Simple Analytic Rules for Model Reduction and PID Controller Tuning. Journal of Process Control, 2003. DOI
Ziegler, J. G., & Nichols, N. B. Optimum Settings for Automatic Controllers. Transactions of the ASME, 1942. DOI