第 1 章 线性系统与时域分析¶
控制与估计的全部讨论都建立在"能描述一个动态系统"之上。本章把线性系统的两套语言——状态空间（state space）与传递函数（transfer function）——以及它们之间的互转讲透，再从极点出发建立"极点位置 ↔ 时域指标"的对照：阻尼比、自然频率如何决定超调与调节时间，稳定性如何用一列判据快速核验，最后落到离散化（zero-order hold、Tustin）与采样周期选择——这是后续所有"回路跑在计算机里"章节的地基。运行环境 python 3.11 + numpy 2.4.6 + scipy 1.17.1 + python-control 0.10.2。
两套语言的互转与极点向下游的两条去处：
flowchart LR
ss["状态空间 ẋ = Ax + Bu"] <-->|"G(s) = C(sI−A)⁻¹B + D"| tf["传递函数 G(s)"]
tf --> pole["极点 → ζ、ωn<br/>→ 超调 / 调节时间 / 稳定性"]
ss -->|"ZOH / Tustin"| dz["离散模型"]
tf -->|"ZOH / Tustin"| dz
dz --> sample["采样周期与 dt 卫生"]1. 状态空间与传递函数¶
同一动态系统有两种等价写法。传递函数 \(G(s)=Y(s)/U(s)\) 是单输入单输出的外部描述，分母多项式的根即极点；状态空间
是内部描述，\(A\) 的特征值就是传递函数的极点（无零极点对消时）。互转在 python-control 里是对象级操作：
import numpy as np, control as ct
A = np.array([[0., 1.], [-10., -2.]]); B = np.array([[0.], [1.]])
C = np.array([[1., 0.]]); D = np.array([[0.]])
sys_ss = ct.ss(A, B, C, D)
sys_tf = ct.tf(sys_ss) # 0.10 起 ss→tf 走对象转换（旧版 ss2tf 路径）
## 极点核对：np.linalg.eigvals(A) 与 np.roots(tf 分母) 最大差 4.4e-16
两视角的分工：分析单回路的频率特性、做经典整定，传递函数最省事；多变量、要接观测器或 LQR（第 6 章「状态反馈与现代控制」），必须回到状态空间。转换的一个数值细节：control 0.10 的 num/den 属性是嵌套列表，且互转会在分子留下 \(4.4\mathrm{e}{-16}\) 级浮点残渣，取系数后应按"小于 \(10^{-12}\) 归零"处理再交给 np.roots。
2. 极点、阻尼比与阶跃响应对照¶
二阶系统极点 \(p=-\zeta\omega_n\pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\) 由阻尼比 \(\zeta\) 与自然频率 \(\omega_n\) 完全决定，时域指标随之确定。取标准形 \(P(s)=\omega_n^2/(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2)\)、\(\omega_n=5,\ \zeta=0.4\)，仿真与公式对照：
| 指标 | 公式 | 公式值 | 仿真值 |
|---|---|---|---|
| 超调量 \(M_p\) | \(e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\) | 25.38% | 25.34% |
| 峰值时刻 \(t_p\) | \(\pi/\omega_d\)（\(\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\)） | 0.6856 s | 0.6978 s |
| 调节时间 \(t_s\) (2%) | 包络估计 \(4/(\zeta\omega_n)\) | 2.0000 s | 1.7095 s |
| 上升时间 \(t_r\) (10–90%) | 无简洁闭式 | — | 0.2939 s |
P2 = ct.tf([25.], [1, 2*0.4*5, 25.])
resp = ct.step_response(P2)
t, y = resp.time, resp.outputs # 0.10 返回响应对象而非 (t, y) 元组
三点读法：超调公式是精确的（包络峰恰好落在 \(t_p\)）；\(t_p=\pi/\omega_d\) 是近似——第一个真实峰值略晚于包络峰（差 0.012 s）；\(t_s=4/(\zeta\omega_n)\) 是保守估计，它按指数包络算"最坏何时进带"，实际峰值低于包络时仿真会更早 settle。反过来由测量指标也能读出极点位置：见超调 25% 即知 \(\zeta\approx0.4\)，这条"从曲线读参数"的路在第 4 章「频率域与鲁棒性」的辨识中反向使用。
超调量随阻尼比的下降曲线（按 \(e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\) 解析式计算，与采样无关）：
xychart-beta
title "二阶系统超调量随阻尼比"
x-axis "阻尼比 ζ" [0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0]
y-axis "超调 (%)" 0 --> 80
line [72.9, 52.7, 37.2, 25.4, 16.3, 9.5, 4.6, 1.5, 0.15, 0.0]3. 稳定性判据最小集¶
闭环稳定的充要条件是全部极点落在左半平面。工程上按成本从低到高排三层：
- 看系数：特征多项式若有缺项或变号（如 \(s^2-3s+2\)），必不稳定，一行代码都不用写。
- Routh–Hurwitz：不解极点、只列表递推，第一列的符号变化数 = 右半平面极点数。三个多项式的对照核验（与
np.roots逐一一致）：
s^4+2s^3+5s^2+2s+1: 第一列=[1, 2, 4, 1.5, 1] 符号变化=0 | RHP 极点=0
s^3+2s^2+5s-2: 第一列=[1, 2, 6, -2] 符号变化=1 | RHP 极点=1
s^2-3s+2: 第一列=[1, -3, 2] 符号变化=2 | RHP 极点=2
两个退化情形要认得：首列出现 0 用 \(\varepsilon\)（下限）替代后继续递推；整行为 0 意味着存在对称于原点的根对（临界稳定），本章不展开。
3. 直接解极点：np.linalg.eigvals(A)，数值上最便宜，凡是拿到状态矩阵的场合就用它，Routh 留给"参数进不定式"的符号分析（如求增益稳定范围）。
线性系统的这套判据到离散域换成"极点进单位圆"：ZOH 离散化后 \(|p_z|=|e^{p\,dt}|<1\) 与 \(\mathrm{Re}(p)<0\) 等价，稳定性结论不因离散化方法而翻转（前提：见第 4 节采样率不过低）。
4. 离散化：ZOH 与 Tustin¶
计算机里的控制器是差分方程。连续对象进离散域的标准做法是零阶保持（zero-order hold, ZOH）：假设两个采样点之间保持器把输入平 hold，对整段精确积分，离散极点严格等于 \(e^{p\,dt}\)。Tustin（双线性）则用 \(s\approx\frac{2}{dt}\frac{z-1}{z+1}\) 代换，极点映射是近似。对一阶对象 \(G(s)=10/(s+10)\)：
dt= 0.001 ZOH 极点=0.990050 e^(-10dt)=0.990050 Tustin 极点=0.990050
dt= 0.010 ZOH 极点=0.904837 e^(-10dt)=0.904837 Tustin 极点=0.904762
dt= 0.050 ZOH 极点=0.606531 e^(-10dt)=0.606531 Tustin 极点=0.600000
dt= 0.100 ZOH 极点=0.367879 e^(-10dt)=0.367879 Tustin 极点=0.333333
gd = ct.c2d(ct.tf([10.], [1, 10.]), 0.01, method='zoh') # 或 method='tustin'
dt 小于一阶时间常数的 1/10 时两者几乎无差；dt 变大后 Tustin 把极点推得偏快（0.333 vs 0.368）。约定：被控对象用 ZOH（它忠实于"数模转换器保持输出"的物理事实），控制器设计用 Tustin（它把虚轴映射到单位圆、频域特性保持得好，且可逆）。
5. 采样与保持的相位代价¶
ZOH 不止映射极点，还给回路附加约半个采样周期的纯滞后。在对象带宽 \(\omega_0=10\) rad/s 处对照连续与离散（含保持器）相位：
dt= 0.01s 连续相位=-45.0deg 离散相位=-47.9deg 理论 -45-ωdt/2=-47.9deg
dt= 0.05s 连续相位=-45.0deg 离散相位=-60.5deg 理论 -59.3deg
dt= 0.10s 连续相位=-45.0deg 离散相位=-78.4deg 理论 -73.6deg
相位侵蚀按 \(\omega\,dt/2\) 累积：dt=0.1 s 时单是保持器就在带宽处吃掉 33°，接近"相位裕度 60°"经验值的一半。这是「带宽越高越稳」说法的第一处漏洞（第 4 章「频率域与鲁棒性」展开）：采样周期决定了可达成带宽的上限，反馈回路的穿越频率一般要求不超过 \(1/(10\,dt)\sim1/(20\,dt)\)。
6. 常见坑：混叠、dt 不一致、保持滞后¶
混叠：传感器按 \(f_s\) 采样，高于 \(f_s/2\)（Nyquist 频率）的振动成分会折回低频、且不可事后区分。对折返频率 \(f_{\text{alias}}=|f_{\text{real}}-k f_s|\) 的唯一防御是采集前的模拟低通；"先采样再软件滤波"救不回已混叠的信号。机器人回路里的常见来源：换相电机电流纹波折进电流环反馈、振动折进 IMU 陀螺。
dt 不一致：控制器内部积分用的 dt 与真实运行周期不符，误差随时间累积。最小演示——同一对象、同一开关输入，仅把输入序列整体推迟 0.1 s：
T = np.linspace(0, 0.6, 601)
u = np.where(T < 0.2, 1.0, 0.0)
u_lag = np.where(T < 0.3, 1.0, 0.0) # 等效一拍延迟
## t=0.3s: 正常响应=0.3163 滞后一拍响应=0.9502 差 0.6340
在瞬态最陡处，一拍延迟造成的轨迹差达幅值的 63%——"环路里任何一拍延迟都是误差源"的量化图像。工程卫生：控制周期用定时器测量而非名义值（第 3 章「PID 工程」的离散 PID dt 卫生、linux-note 第 7 章「内核、启动与实时调优」的周期抖动测量都在处理这个问题）。
保持滞后即第 5 节的 \(\omega dt/2\)，它常被误算进"传输延迟"里重复补偿。
7. 控制周期与观测周期的选择¶
两类周期服务于不同目的，选择判据不同：
- 控制周期由对象带宽决定：内环（电流）快于外环（速度）快于位置环，每层带宽相差约一个数量级，具体三环结构在第 2 章「执行器与刚体模型」作为被控对象展开。采样-带宽比按 10–20 倍起步，再对照第 5 节的相位侵蚀核算裕度。
- 观测周期（状态估计、日志采样）可以慢于控制周期，但必须满足两点：其一，被估计状态的时间常数不能比观测周期小太多，否则两步之间信息已衰减完；其二，观测器增益按实际观测周期整定——估计器与控制器用不同的 dt 时，两边的离散化都要各自做，不能混用连续增益。
原则一句话：周期不是配置里的魔法数字，是频率域预算的时域投影——先定带宽，再定周期，最后核相位代价。
8. 要点¶
- 状态空间与传递函数是同一系统的内外描述，极点互通（对照最大差 4.4e-16）；
control0.10 的转换接口是ct.tf(sys_ss)，系数有浮点残渣须归零。 - 二阶指标可背可验：\(\zeta=0.4\) 超调 25.4%、\(t_p\approx\pi/\omega_d\)（近似偏低）、\(t_s\approx4/\zeta\omega_n\)（保守偏大）；由曲线反读极点同样成立。
- 稳定性三层最小集：系数变号必不稳 → Routh 第一列符号变化数 = RHP 极点数（三例与
np.roots全一致）→ 直接解极点。离散域换成单位圆判据。 - ZOH 极点是 \(e^{p\,dt}\) 的精确映射，Tustin 在 dt 大时偏快；约定"对象 ZOH、控制器 Tustin"。
- ZOH 附带 \(\omega dt/2\) 相位侵蚀：dt=0.1 s 在 10 rad/s 处吃掉 33°；控制周期按带宽 10–20 倍起步，一拍延迟在瞬态处可造成 63% 轨迹差。
- 混叠只能防不能救；dt 不一致与测量周期偏差是"调不好"的常见真凶，对应靶子「调不好是噪声问题」在第 3 章「PID 工程」落锤。