第 2 章减速器与传动¶

电机多半不能直接驱动关节：它的转矩/转速组合与关节要的"低速大扭矩、高精度、可反驱或可自锁"往往对不上，中间要一层减速与传动。这一章讲常见减速机构的结构与减速比来源、精度三指标如何合成到定位误差、效率与寿命判据、线性传动，以及把电机/减速器/编码器装配成一个关节时的惯量匹配与折算。它止于传动器件本体；

减速器进 \(M(q)\ddot q+C\dot q+G(q)=\tau\) 的对象形态（摩擦、刚度、齿隙的非线性建模）归 control-note 第 2 章。示例参数为便于手算而设、不指向某一真实型号；厂商额定值一律注「厂商 + 文档 + 型号 + 版本」，未核实标「待核实」。

电机侧到关节侧的换算与精度三指标：

flowchart LR
    motor["电机侧：高转速、低转矩"] --> red["减速器：减速比 N"]
    red --> joint["关节侧：低速、大转矩"]
    red --> acc["精度三指标<br/>回差 / 扭转刚度 / 传动误差"]
    red --> inertia["惯量折算：J_m·N²"]

1. 结构与减速比的来源¶

谐波减速器（strain wave gear）：由波发生器（wave generator，椭圆凸轮）、柔轮（flexspline，薄壁弹性杯）、刚轮（circular spline，刚性内齿）三件组成。波发生器使柔轮弹性变形呈椭圆，椭圆长轴处的柔轮齿与刚轮齿啮合、短轴处脱开；柔轮比刚轮少 \(n\) 个齿，转一圈就相对刚轮错开 \(n\) 个齿，单级减速比

[ i = -\frac{Z_f}{Z_c - Z_f}\quad(Z_f\text{ 柔轮齿数},\ Z_c\text{ 刚轮齿数}) ]

常见 50–160，靠柔轮弹性变形而非刚性接触。优点零/极小回差、单级大减速比、结构紧凑；缺点是柔轮是疲劳件、额定转矩与寿命受变形幅限制、高速发热。 - 行星减速器（planetary）：太阳轮—若干行星轮—内齿圈，行星架输出。单级减速比 \(i=1+Z_\text{ring}/Z_\text{sun}\)（通常 3–10），多级串联。刚性接触、效率高、可反驱、承受冲击好；回差比谐波大（多个刚性啮合间隙叠加）。 - RV 与摆线针轮（cycloidal / rotary vector）：一级行星 + 二级摆线（偏心盘驱动摆线轮对针齿），两级承载、高刚性、抗冲击、回差小，用于基座与髋/肩等大负载关节；

零件多、成本高、装配精度敏感。 - 蜗轮蜗杆（worm）：可实现自锁（导程角小于当量摩擦角时不可反驱），减速比大但效率低、发热；准双曲面（hypoid）齿轮用于需要偏置轴与较高承载的基座，效率高于蜗轮。 - 直驱（direct drive）：无减速器，电机（第 1 章力矩/直驱电机）直接连负载——零回差、零齿隙摩擦、可反驱、噪声低；代价是电机要直接出大转矩、铜损与体积代价高，惯量匹配靠电机本身 \(K_T\)。它在第 1 章电机谱系里是"无减速档"，这里作选型对比。

判据：反驱性（力控/碰撞检测要低齿隙高反驱）、单级减速比与所需级数、承载与冲击、回差与寿命，四者相互拉扯——人形/协作关节偏谐波或准直驱，重载基座偏 RV/行星。

2. 精度三指标：回差、扭转刚度、传动误差¶

减速器输出端的定位精度由三个互相独立的指标决定，不应把它们混成一个"精度"：

回差 / 齿隙（backlash）：输入换向时输出不动的空程角，形成迟滞回线；来自啮合间隙。它让正反向切换丢一段角度。
扭转刚度（torsional stiffness）\(k_s\)：加载后弹性变形引起的角位移，\(\Delta\theta_\text{el}=\tau_\text{out}/k_s\)。负载越大、刚度越低，误差越大；这也是第 3 章双编码器能"测回来"的对象（输出轴扭变）。
传动误差 / 波纹（transmission error）：输出轴转一整圈时，实际角度与名义角度之差的周期性分量，来自齿形/装配误差；它的频谱（每转几倍的谐波）暴露是哪一级、多少个齿在贡献。

三者合成到输出定位误差的预算（各按最大/统计方式叠加）：

import numpy as np
d2r = np.pi/180
backlash   = 0.05*d2r          # 回差半宽（示例），rad
trans_err  = 0.02*d2r          # 传动误差幅（示例），rad
k_s, tau   = 5000.0, 10.0      # 扭转刚度 N·m/rad，工作负载转矩 N·m
defl       = tau/k_s           # 弹性扭变角
err_rss    = np.sqrt(backlash**2 + trans_err**2 + defl**2)   # 平方和合成
err_sum    = backlash + trans_err + defl                      # 保守直加

按这组示例，弹性扭变约 0.115°，平方和合成约 0.127°、保守直加约 0.185°。两种合成方式给出的是同一组误差的不同置信口径：RSS 假定各项独立，直加覆盖最坏情况。

减速器提高转矩分辨率不等于提高定位精度：把电机侧编码器分辨率除以减速比看似"白捡"，但回差、传动误差与扭变是输出侧独立误差，不随减速比缩小。

3. 效率与温升¶

每级传动有机械效率 \(\eta<1\)，多级串联按连乘：

\[ \eta_\text{total} = \prod_j \eta_j \]

输入侧损耗 \(P_\text{loss} = |\tau_m\omega_m|(1/\eta - 1)\) 变成热。数量级参考（示例，非某型号）：行星单级约 0.97、谐波约 0.75–0.85、蜗轮明显更低且随速比与润滑变化；此外还有空载搅油/预紧损耗（润滑脂、密封），低速时占比上升。效率低意味着同样输出要更多铜损、发热与热平衡温升更高（第 1 章热模型），高速大功率时效率是硬约束。

eta_planet, eta_harm = 0.97, 0.80          # 示例：一级行星 + 一级谐波
eta_total = eta_planet * eta_harm
P_out = 100.0                              # 输出机械功率 W
P_in  = P_out / eta_total

总效率 0.776：输出 100 W 需输入约 129 W，其余约 29 W 转成热。

4. 寿命判据¶

减速器寿命不是"坏了为止"，而是精度保持到某失效判据。核心两条：

疲劳寿命 \(L_{10}\)：在给定（交变）负载转矩与转速下，一批产品中 90% 达到的运转时数（滚动轴承按 ISO 281 的基本额定寿命，减速器整机按各厂商 \(L_{10}\) 曲线）。它随负载按幂律急剧变化——额定曲线一般形如 \(L = (T_\text{rate}/T_\text{eq})^p \cdot L_\text{rate}\)（\(p\) 因机构/失效模式而异，未核实不写具体值）。负载均值不够，要用负载谱的等效转矩 \(T_\text{eq}\)（按 Miner 累积损伤折算）。
脂/材料寿命与温度：润滑脂寿命随温度指数级衰减，密封与再润滑周期决定维护窗口；柔轮（谐波）是疲劳件，其寿命对变形幅与预载最敏感。

工程判据：从任务画转矩-时间谱，折等效转矩与等效转速，查该型号 \(L_{10}\) 曲线（厂商文档，标型号/版本；缺则标待核实）校核寿命，而不是只看额定静态转矩。

5. 线性传动¶

不是所有关节都旋转：线性执行器用把旋转换成直线的机构，特性差别很大。

滚珠丝杠（ball screw）：高效率高精度地把电机旋转转换成推力/位移，轴向刚度高；人形腿部用行星滚柱丝杠（planetary roller screw）——多滚柱线接触承载，比滚珠丝杠承受更高冲击与更紧凑，但成本高、摩擦与发热需算。丝杠把电机高速低扭换成直线高推力，等效惯量折算同「惯量匹配与关节组合折算」。
同步带（timing belt）：轻、安静、可跨距，但有弹性伸长与齿向节距误差，长跨距下成为位置弹性与波纹源。
齿轮齿条（rack & pinion）：可无限长行程、刚性优于带，代价是啮合回差与润滑。

判据：线性执行器的位置精度同样由"回差 + 弹性伸长（推力/轴向刚度）+ 节距波纹"合成，与旋转减速器同构；丝杠/带把刚度与回程误差带进力控回路，需在第 3 章传感侧能测到输出位移才闭环。

6. 惯量匹配与关节组合折算¶

一个关节 = 电机 +（可选）减速器 +（可能双）编码器。减速比 \(N\) 同时改变转矩、转速、惯量、分辨率四件事，方向相反，必须一起算：

折算到电机轴的负载惯量 \(J_{L,\text{ref}} = J_L / N^2\)（再乘效率/摩擦修正）；
输出角分辨率 = 电机侧编码器角分辨率 / \(N\)（数值上变细 \(N\) 倍，但输出侧真实精度受本章的精度三指标限制，不因折算而改善）；
惯量匹配：让负载传回来的惯量与电机转子惯量同量级，加速能力最优。经典结论——为使负载角加速度最大，取

[ N_\text{opt} = \sqrt{J_L / J_m} ]

使 \(J_{L,\text{ref}} = J_m\)。惯量比 \(J_{L,\text{ref}}/J_m\) 过大，控制带宽被谐振与伺服刚度上限卡住（第 1 章轴系谐振）。

J_L, J_m = 0.5, 2e-5                 # 负载惯量、电机转子惯量（示例）
N_opt = np.sqrt(J_L / J_m)           # 惯量匹配最优减速比
J_ref_at_Nopt = J_L / N_opt**2

这组示例的最优减速比约 158，此时折算惯量正好回到 \(J_m\) 的量级——惯量匹配不是"越小越好"，而是让两侧同量级。

双编码器构型（电机端 + 输出端）正是为补偿这里说不清的损失而设：电机端读换向与速度、输出端直读真实输出角，把减速器回差与轴扭变"测回来"——它的接口与误差预算在第 3 章展开，力控关节为何还需要输出端力/矩传感在第 4 章。

7. 要点¶

减速器在"回差、反驱性、单级速比、承载、效率、寿命"之间互相取舍：谐波零回差大速比但柔轮是疲劳件，行星可反驱高效率但回差大，RV 抗冲击重载但复杂，直驱用 \(K_T\) 硬扛、无齿隙摩擦。
输出定位精度 = 回差 + 扭转刚度（\(\tau/k_s\)）+ 传动误差（含其频谱）三者的合成；减速比不缩小这三项，"高分辨率编码器除以速比"不等于高精度。
效率多级连乘，损耗转热；低速时空载搅油/预紧损耗占比上升。
寿命看精度保持：用任务转矩谱折等效转矩查 \(L_{10}\) 曲线（幂律、标型号），静态额定转矩不反映寿命。
线性执行器（滚珠/行星滚柱丝杠、同步带、齿轮齿条）的位置误差与旋转传动同构：回差 + 弹性变形 + 节距波纹，需输出侧可测才闭环。
减速比同时折算转矩/转速/惯量/分辨率且方向相反，惯量匹配 \(N_\text{opt}=\sqrt{J_L/J_m}\) 让折算惯量与转子惯量同级；双编码器用来把减速器损失测回来（第 3 章）。

参考文献与延伸阅读¶

Armstrong-Hélouvry, B., Dupont, P., & Canudas de Wit, C. A Survey of Models, Analysis Tools and Compensation Methods for the Control of Machines with Friction. Automatica, 1994. DOI
Siciliano, B., & Khatib, O. (Eds.). Springer Handbook of Robotics (2nd ed.). Springer, 2016. DOI
Norton, R. L. Design of Machinery (6th ed.). McGraw-Hill, 2019.

第 2 章 减速器与传动¶