第 4 章频率域与鲁棒性¶

第 3 章「PID 工程」把整定收敛到"仿真核验闭环指标"，但一句句试错看不到全局。频率域给出全局视角：把开环传递函数画成 bode 图，稳定与否、稳得多快、能忍多大摄动，都读自两条曲线。本章建立增益裕度与相位裕度的读图法，讲清"带宽换鲁棒性"这条硬权衡，把第 1 章「线性系统与时域分析」埋下的"延迟侵蚀相位"这条线收口，并用一个不稳定对象说明"GM>1 就稳"的直觉何时失效。最后给出工程前置件——一阶/二阶加纯滞后（FOPDT）模型的最小二乘辨识。运行环境 python 3.11 + control 0.10.2。

裕度从开环曲线读出，延迟在相位上直接扣分：

flowchart LR
    l["开环 L(s) = C(s)P(s)"] --> bode["bode：幅频 + 相频"]
    bode --> gm["增益裕度 GM"]
    bode --> pm["相位裕度 PM"]
    gm --> judge["稳定裕度 → 超调 / 振荡"]
    pm --> judge
    delay["纯延迟 e^(−sT)"] -.->|"相位随频率线性侵蚀"| bode
    judge --> trade["带宽 ↔ 鲁棒性权衡"]

1. 开环频率特性与 bode 图¶

分析对象是回路传递函数 \(L(s)=C(s)P(s)\)（控制器 × 对象，单位负反馈）。把 \(s=j\omega\) 代入，取模与相角画成两张对数图即 bode 图（Bode plot）：幅值 \(20\log_{10}|L(j\omega)|\)（dB）与相位 \(\angle L(j\omega)\)（度）随 \(\omega\)（rad/s，对数轴）变化。三条读图基线：

每个一阶极点 \(\frac{1}{\tau s+1}\) 在转折频率 \(1/\tau\) 之后贡献 −20 dB/dec 斜率与最多 −90° 相位；零点反之。
积分环节 \(1/s\) 全程 −20 dB/dec、恒 −90°。
纯滞后 \(e^{-Ls}\) 幅值恒 0 dB、相位 \(-\omega L\) 线性下垂——它只消耗相位、不动幅值，这是它比任何极点都阴险的根源（见「延迟对相位的侵蚀」一节）。

2. 增益裕度与相位裕度¶

两个穿越点定义两条裕度：

增益穿越频率 \(\omega_{pc}\)：幅值过 0 dB（\(|L|=1\)）处。此处相位距 −180° 的余量叫相位裕度 PM。
相位穿越频率 \(\omega_{gc}\)：相位过 −180° 处。此处幅值距 0 dB 的下量叫增益裕度 GM。

对第 3 章「PID 工程」那个 FOPDT 对象配 PI（\(T_i=1\) s），扫比例增益：

Kp= 1.0: 穿越  0.58Hz 相位裕度  82.6deg 增益裕度 12.3dB 超调   0.0% 稳定=True
Kp= 2.0: 穿越  1.24Hz 相位裕度  52.3deg 增益裕度  6.3dB 超调  16.2% 稳定=True
Kp= 3.5: 穿越  2.21Hz 相位裕度  14.8deg 增益裕度  1.4dB 超调  74.5% 稳定=True
Kp= 5.0: 穿越  3.17Hz 相位裕度 -19.4deg 增益裕度 -1.6dB 超调 289.7% 稳定=False

一眼三事：\(K_p\) 每翻一倍，穿越频率（带宽）几乎同步升、相位裕度单调降；相位裕度跌破 0 的同一档，闭环极点进右半平面（Kp=5 失稳）；超调是相位裕度的镜像——PM≈50°对应约 16% 超调、PM<15°超调冲到 74%。工程经验值由此定量：相位裕度 45°–60° 是"够快又不砸"的窗口，PM=15°（Kp=3.5）已在脆边。

3. 带宽与鲁棒性的权衡¶

裕度是"摄动多少倍才失稳"的度量：GM 说增益可再放大的倍数，PM 说相位可再吃多少度。把增益往上推＝要快＝带宽升＝两条裕度同时缩水，这是控制的第一条硬权衡，没有免费午餐。比单点裕度更稳的鲁棒性读数是灵敏度峰值 \(M_s=\max_\omega|1/(1+L)|\)（灵敏度函数 \(S=1/(1+L)\) 的峰）与补灵敏度峰 \(\max|T|=\max|L/(1+L)|\)：它们直接给出"对象不确定性 \(|\Delta|<1/M_s\) 时闭环仍稳"的保证半径。同一 PI 回路稳定区三档：

Kp= 1.0: Ms=1.39 (|Ms|<=2 合格)  Tr peak=1.00
Kp= 2.0: Ms=2.12 (偏脆)          Tr peak=1.32
Kp= 3.5: Ms=7.47 (偏脆)          Tr peak=6.62

\(M_s\) 从 1.39 飙到 7.47：\(K_p\) 从 1 到 3.5 只涨了 3.5 倍带宽，鲁棒半径 \(1/M_s\) 却从 0.72 塌到 0.13。业界把 \(M_s\le2\)（对应约 PM≥45°、GM≥6 dB）作为可整定目标，正因为它是单一数字、比"两个裕度都要看"更少歧义。快与稳是同一预算的两头，量化它就别只用带宽一个数说话。

4. 延迟对相位的侵蚀¶

第 1 章「线性系统与时域分析」给出零阶保持附加 \(\omega\,dt/2\) 相位滞后，本节把它一般化为纯滞后 \(L\)：相位直接吃 \(-\omega L\)，幅值不动。固定 PI（\(K_p=3.5,T_i=1\)）在 \(\tau=0.5\) s 对象上扫滞后：

延迟 L=0.00s (L/tau=0.00): 相位裕度  94.1deg
延迟 L=0.05s (L/tau=0.10): 相位裕度  54.3deg
延迟 L=0.10s (L/tau=0.20): 相位裕度  14.8deg
延迟 L=0.20s (L/tau=0.40): 相位裕度 -57.1deg（已失稳）

同样的控制器增益，仅把对象滞后从 0 加到 0.1 s，相位裕度从 94°崩到 15°；加到 0.2 s 直接失稳。斜率粗算约"每 \(0.05\) s 滞后、在 2 Hz 附近吃掉 40°"。这解释了为什么 \(L/\tau\) 是对象"好控/难控"的一级分类：\(L/\tau\lesssim0.1\) 从容、\(\gtrsim0.3\) 时任何高增益都付相位税。

机器人回路的滞后来源清单——总线传输（fieldbus-note 各章）、计算与缓冲、采样保持（第 1 章「线性系统与时域分析」）、驱动器等效延迟——都在往这个 \(L\) 里加码。「带宽越高越稳」经此彻底否证：带宽越高，同样的 \(L\) 在穿越点吃掉的相位 \(\omega_{pc}L\) 越大，越快反而越脆。

5. Nyquist 判据与它纠正的直觉¶

bode 裕度是 Nyquist 判据的工程投影，但投影会失真。Nyquist：闭环右半平面极点数 \(Z=N+P\)，\(P\) 是开环右半平面极点数，\(N\) 是 \(L(j\omega)\) 曲线顺时针包围 \(-1\) 点的圈数。稳定要求 \(Z=0\)。对开环已稳定的对象（\(P=0\)），"曲线不包围 −1"等价于前面那套 GM/PM 直觉。陷阱在开环不稳定的对象。取 \(P(s)=\frac{1}{s-2}\)（一个右半平面极点，\(P=1\)）配纯比例：

Kp=1.0: 闭环极点实部=[ 1.] 稳定=False | 线性增益裕度=2.00
Kp=3.0: 闭环极点实部=[-1.] 稳定=True  | 线性增益裕度=0.67

结论反直觉：\(K_p=1\) 时增益裕度 2.0（>1，看似"有裕度"）却失稳，\(K_p=3\) 时增益裕度 0.67（<1，看似"不够"）反而稳定。原因在包围数：\(P=1\) 时稳定需要曲线对 −1 产生一次逆时针包围（\(N=-1\) 使 \(Z=0\)），而增益不足时包围方向恰好相反。

因此简单"GM>1、PM>0 即稳"仅对开环稳定对象成立；一旦对象自身含右半平面极点（倒立摆、某些柔顺机构线性化后），就必须回到 Nyquist 包围数，或直接查闭环极点（第 1 章「线性系统与时域分析」的特征值路线）。这也回收第 2 章「执行器与刚体模型」摄动讨论的边界——独立 PID 耐受的是增益摄动，前提是标称回路开环稳定。

6. FOPDT 建模与最小二乘辨识¶

前面全建立在"已知 \(P(s)\)"上；真实做法是先辨识。工程中最小可用的对象模型是 FOPDT \(\frac{K}{\tau s+1}e^{-Ls}\)——三参数 \(K,\tau,L\) 足以覆盖多数单回路整定。最小辨识样：对幅值+相位数据做非线性最小二乘（scipy.optimize.curve_fit），真值 \(K=2,\tau=0.5,L=0.12\)，含 5% 幅值噪声：

def model(w, K, tau, L):
    mag = 20*np.log10(K/np.sqrt(1+(tau*w)**2))
    ph  = -np.arctan(tau*w) - L*w            # 相位含 -L*w 线性项
    return np.concatenate([mag, ph])
## 数据侧相位须 np.unwrap 展开，否则缠绕破坏拟合
data = np.concatenate([20*np.log10(np.abs(Gn)), np.unwrap(np.angle(Gn))])
popt, _ = curve_fit(model, w, data, p0=[1, 1, 0.05])
## 拟合 K=1.953 tau=0.489 L=0.120 —— 与真值三参数全对上

辨识的命门是把 \(L\) 从相位斜率里分离出来：只用幅值 \(L\) 与 \(\tau\) 简并（都压低高频幅值），必须有相位参与才能定 \(L\)；而相位一旦跨过 −180° 会被 np.angle 缠绕回正，不 unwrap 就会把 \(L\) 拟合到 0（本脚本第一版即栽在此，\(L\) 收敛到 −0.016）。另一条时域路：开环阶跃响应的"切线法"从拐点画切线直接读 \(L\)（起跳延迟）与 \(\tau\)（截距），适合只有阶跃数据的现场。二阶加延迟（SO-PDT）辨识同法加两个参数，用于第 3 章「PID 工程」那个明显欠阻尼的关节对象。

7. 根轨迹：本章按名目处理¶

根轨迹（root locus）是把某参数（通常是开环增益）从 0 扫到 ∞、画闭环极点在复平面轨迹的方法，直观展示"增益升→极点走向右半平面"的分叉过程。本章不展开：它服务的是"单参数变化下极点去向"的教学图像，而这与前述 bode 裕度、Nyquist 包围数信息重叠；工程整定用频率域两裕度 + \(M_s\) 已足够决策，闭环极点核验交给 np.linalg.eigvals。需要时再另立专题。

8. 要点¶

裕度读自 \(L=C\,P\) 的 bode 图：增益穿越点的相位余量＝PM，相位穿越点的幅值下量＝GM；本例 \(K_p\) 翻倍则带宽近翻倍、PM 单调降，PM 45–60° 是可整定窗口。
快与稳是同一预算：\(K_p\) 从 1→3.5 带宽仅 3.5×，灵敏度峰 \(M_s\) 从 1.39 飙到 7.47、鲁棒半径 \(1/M_s\) 塌到 0.13；用 \(M_s\le2\) 做单目标比"两裕度都盯"更少歧义。
纯滞后只消耗相位（\(-\omega L\)）不动幅值：同增益下 \(L\):0→0.2 s 使 PM 从 94° 崩到 −57°；「带宽越高越稳」被否证——越高越吃相位。
"GM>1 即稳"只对开环稳定对象成立：含右半平面极点的对象须回到 Nyquist 包围数或直接解闭环极点（本例 GM=2.0 失稳、GM=0.67 稳定的反转）。
FOPDT 三参数是最小可用对象模型，辨识须用相位定 \(L\) 且必须 np.unwrap；\(L/\tau\) 是对象好控/难控的一级分类。

参考文献与延伸阅读¶

Åström, K. J., & Murray, R. M. Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers (2nd ed.). Princeton University Press, 2021. 书籍主页
Doyle, J. C., Francis, B. A., & Tannenbaum, A. R. Feedback Control Theory. Macmillan, 1992.
Skogestad, S., & Postlethwaite, I. Multivariable Feedback Control: Analysis and Design (2nd ed.). Wiley, 2005.

第 4 章 频率域与鲁棒性¶