第 1 章电机原理与选型¶

关节能不能动、力出得足不足、速度够不够，物理上由电机决定。这一章讲旋转电机的工作机制（磁场如何换成转矩）、转矩-转速能力边界（三重限制）、以及从一台电机的 datasheet 参数出发做选型判据的方法。

它止于器件本体：电机作为被控对象的传递函数与摩擦项归 control-note 第 2 章，驱动器内部的换相与电流环实现不在本板块展开，总线侧的驱动器状态机与指令接口归 fieldbus-note 第 5 章 DS402。示例参数为便于手算而设、不指向某一真实型号；凡引具体器件数字一律注「厂商 + 文档 + 型号 + 版本」，未核实者标「待核实」。

需求到选型判据的三重限制：

flowchart LR
    need["需求：转矩 / 转速 / 尺寸"] --> lim["三重限制<br/>热 / 电压 / 机械"]
    lim --> curve["T-n 能力曲线"]
    curve --> pick["选型：工作点落在曲线内且留裕度"]

1. 类型谱系与磁场来源¶

电机按"磁场怎么来、怎么换向"分族，选型第一刀就砍在这里：

有刷直流（brushed DC）：定子永磁、转子绕组经机械换向器（电刷 + 整流子）通电。结构最简单、驱动只要正负电压即可；代价是电刷磨损与换向火花，寿命与免维护性受限，不适合长期高占空比作业。
无刷直流（BLDC，brushless DC）：转子永磁、定子三相绕组，用霍尔信号按扇区电子换向，反电动势接近梯形波。控制比有刷复杂（要换相逻辑），但无电刷、寿命长、功率密度高。
永磁同步（PMSM，permanent-magnet synchronous motor）：与 BLDC 同族，反电动势接近正弦波，配合磁场定向控制（FOC，field-oriented control）转矩纹波更小、高速更稳，是伺服与关节的主流。
步进电机（step / stepper）：定转子齿对齿按脉冲逐步定位，开环即有保持转矩（矩角特性），适合小行程定位；弱点是共振、高速转矩衰减、失步。
力矩电机与直驱（frameless / direct-drive）：多极对、大直径，专为高转矩密度、低齿槽、直驱无减速器设计；"frameless"指无独立机壳、直接嵌入关节。
开关磁阻（SRM）与异步感应：无永磁体、转子无绕组或短路笼，靠磁阻最小位置或滑差工作，耐高温、成本结构不同，机器人关节少见，一句话名目。
空心杯（coreless）：转子无铁芯、惯量极低、无齿槽，用于快速响应的微执行器与云台。

机器人关节的主流是 PMSM/BLDC + 减速器（直驱方案在第 2 章作对比档）。

2. K_T、K_E 与电压方程¶

转矩与反电动势由两个常数描述，二者在 SI 单位下数值相等：

\[ \tau = K_T\, i,\qquad e = K_E\, \omega,\qquad K_T = K_E\ [\mathrm{N\,m/A = V\,s/rad}] \]

绕组回路电压方程（忽略电感暂态）把电与机械接起来：

\[ V = R\,i + K_E\,\omega \]

给定母线电压 \(V\) 与电阻 \(R\)，可解出堵转转矩与空载转速两个端点：

\[ \tau_\text{stall} = \frac{K_T V}{R}\quad(\omega=0),\qquad \omega_0 = \frac{V}{K_E}\quad(\tau=0) \]

import numpy as np
V, R, Kt = 24.0, 0.3, 0.05       # 示例参数（非某真实型号）：母线电压、相电阻、转矩常数
Ke = Kt                           # SI 下数值相等
rpm = 9.5493                      # rad/s -> rpm
tau_stall = Kt * V / R            # 堵转（失速）转矩
w0 = V / Ke                       # 空载角速度

这组参数给出堵转转矩 4 N·m、空载 480 rad/s（约 4580 rpm）——两个端点只是电压方程的边界，真实可用区还要被热限与功率限往里收。

3. 转矩-转速曲线的三重限制¶

一条 \(\tau\)-\(\omega\) 能力曲线不是直线，它被三种不同的限制共同框住，越界各有各的失效方式：

空载转速上限由 \(K_E\) 与母线电压定（\(\omega_0=V/K_E\)）——转子上去反电动势顶满母线，再提速需提高母线电压。
转矩上限在低速由绕组电流的热限定（\(\tau=K_T i\)，\(i\) 受连续电流约束），不在堵转那条电气直线，而在更低的"连续"横线——堵转 \(\tau_\text{stall}=4.0\) N·m 只是瞬时上限，能持续输出的连续转矩受 \(i_\text{cont}\) 卡得更低。
高速段受母线电压与电流的共同约束：反电动势占满母线后进入恒功率区，转矩按 \(\tau\propto 1/\omega\) 下降；铁损与磁钢高温退磁进一步压低可用转矩。

i_cont = 8.0                      # 连续电流（热限），示例
tau_cont = Kt * i_cont            # 可持续转矩
i_pk   = 20.0                     # 峰值电流（短时）
tau_pk = Kt * i_pk                # 短时峰值转矩
## 基速：额定转矩下受电压约束的转速
w_base = (V - R * i_cont) / Ke    # 连续工况下的实际转速上界

这组参数下连续转矩 0.4 N·m、短时峰值 1.0 N·m，连续工作点的转速上界约 430 rad/s——比空载 480 rad/s 低，差值就是带载时电阻压降吃掉的那部分电压。

"峰值转矩能不能当连续用"是最常见的选型事故：峰值受磁钢退磁与绕组短时温升约束、只能短时，连续由热平衡定——见「惯量、动态与热模型」。

4. 齿槽转矩与纹波¶

齿槽转矩（cogging torque）是永磁体与定子齿在电流为零时的磁阻拉力，随电角度周期波动，表现为低速"一顿一顿"与定位抖动。它取决于槽数与极数的配合：当"槽数 / 极数"取得使各槽合成的齿槽力互相抵消时最小，工程上用斜槽（定子）或斜磁钢（转子）把单一尖峰摊成近正弦的小纹波。

齿槽转矩与换向纹波叠加进负载，就是伺服低速平稳性的敌人。选力矩电机/直驱时"低齿槽"常列为硬指标；判据层面把它记成"与槽极配合和斜角相关的周期扰动"，具体幅值以电机厂商手册给出并标型号，未给时只讲机理不写数字（待核实）。

5. 惯量、动态与热模型¶

转动惯量 \(J\) 决定加速能力：\(\tau = J\,\dot\omega\)（负载侧还要加摩擦与重力项，归 control-note）。加速到目标转速 \(\Delta\omega\) 所需电磁转矩近似

\[ \tau \approx (J_m + J_L)\,\frac{\Delta\omega}{t_\text{acc}} \]

其中 \(J_m\) 为转子惯量、\(J_L\) 为折算到电机轴的负载惯量（经减速比 \(N\) 折算按 \(1/N^2\) 缩小，见第 2 章「惯量匹配与关节组合折算」）。机器人关节追求低惯量比 \(J_L/J_m\)（第 2 章给经验档位），否则加速指令被负载惯量吃掉、带宽上不去。

热模型决定连续/峰值之分。绕组温升近似一阶：

\[ C_\text{th}\,\dot T = R i^2 - \frac{T - T_\text{amb}}{R_\text{th}} \]

它给出两个时间常数：铜（绕组）热常数较短、决定峰值能撑多久；机壳/磁钢热常数较长、决定长时间平均损耗上限。峰值电流只能在短于铜热常数的时间里用，且要防磁钢高温不可逆退磁。绝缘等级（如 Class F/H，见 IEC 60034）限定最高允许温升。

Kt2, i2 = Kt, 20.0
loss_pk = R * i2**2               # 峰值铜损
tau_acc, J_tot, dw = 0.05, 1e-4, 100.0   # 加速转矩预算、总惯量、目标角速度
t_acc = J_tot * dw / tau_acc      # 纯惯性加速时间（未计摩擦/重力）

按这组示例，把 0.1 g·m² 的惯量加速到 100 rad/s 约需 0.2 s（仅惯量项），峰值铜损 120 W——后者才是热模型要回答的问题：这个电流能撑多久。

6. 舵机与一体化关节模组¶

产品形态上，"电机"常以集成档位出现，选型时要认清里面装了什么：

模型舵机：DC 电机 + 减速齿轮 + 电位器位置反馈 + 内置控制板，PWM 脉宽控位置。优点是即插即用，缺点是电位器分辨率/寿命有限、回中死区大、位置由内部闭环不透明。
数字总线舵机：以 RS-485 等串行总线回读位置、温度、负载，可多机并联寻址，控制透明度高。协议细节（寄存器、回读语义）归 fieldbus-note；具体型号与命令字以厂商文档为准（待核实）。
一体化关节模组：frameless 电机 + 谐波/行星减速器 + 双编码器 + 驱动器封装成一个旋转关节，给出总线或脉冲接口。它把本板块第 1–3 章的东西打包了，但仍需自查其回差、双编码器配置、热限与额定/峰值分工——"集成"不等于"选型问题消失"。

判据：把舵机/模组当黑盒时，datasheet 必须能读出额定与峰值转矩、转速、减速比、背隙、编码器位数、通信接口，缺项即无法纳入控制回路设计。

7. 旋转电机之外的执行器¶

短行程、高动态、纯推力等场景会绕开旋转电机：

音圈电机（voice coil）与直线电机：无铁芯齿槽、行程短但动态极高、力正比电流，用于光学对焦、力控直接驱动。
气缸与气动肌肉：力-位移受气源压强与缸径限制，压缩空气的可压缩性使位置刚性差、常配力/位置外环；气动肌肉（McKibben 类）功率密度高但非线性强。
液压：比功率最高，用于重载与工程机器人；代价是油路、密封与维护。
形状记忆合金（SMA）与介电弹性体：大应变、安静、轻，但带宽低、滞后重、效率低，适合抓取等准静态小力场景。
压电 / 超声电机：微步、自锁、无电磁干扰，用于精密定位与微执行器。

判据：这类执行器多"非线性明显、闭环依赖外部传感"，选用时需把传感与建模的预算一并计入，不能按电机的线性常数选型。

8. 从关节需求反推电机¶

选型是把关节需求逆推成器件参数，顺序固定：

负载侧需求：由整机任务给出关节的最大输出转矩 \(\tau_L\)、最高输出转速 \(\omega_L\)、允许加速时间 \(t_\text{acc}\)、工作温度与安装空间。
选减速比 \(N\)（第 2 章）：把输出侧需求折算到电机侧，\(\tau_m=\tau_L/N\cdot(1/\eta)\)、\(\omega_m=N\,\omega_L\)、\(J_{L,\text{ref}}=J_L/N^2\)，先让电机在高效区。
用 \(K_T\)、\(K_E\) 与三重限制的能力曲线校核：连续点在 \(\tau_\text{cont}\)–\(\omega\) 曲线内、峰值点在退磁与安全线内、母线电压顶得到目标转速。
热与惯量收口：算平均损耗对连续热限、惯量比对目标动态；不满足回第 2 步改 \(N\) 或升一档电机。
舵机/一体化关节模组按「舵机与一体化关节模组」的判据核对回读能力与背隙是否满足闭环。

## 一次反推校核：输出需求 -> 电机侧 -> 能力曲线是否够
tau_L, w_L, N, eta = 20.0, 5.0, 50, 0.75    # 关节输出 20 N·m / 5 rad/s，减速比 50，效率 0.75
tau_m = tau_L / (N * eta)                     # 电机连续转矩需求
w_m   = w_L * N                               # 电机转速需求
ok = (tau_m < tau_cont) and (w_m < w0)        # 落在连续工作区内？

按这组示例，电机侧需约 0.53 N·m @ 250 rad/s；转速够，但连续转矩 0.4 N·m 顶不住，ok 为 False。这条校核给出关键结论：要么提 \(K_T\)（更大电机），要么减 \(\tau_L\)，要么靠减速比重新分配——选型判据不是查表，是把三重限制一条条代进去看越没越界。

9. 要点¶

选型第一刀在电机族：机器人关节主流是 PMSM/BLDC，正弦（PMSM+FOC）纹波小于梯形（BLDC），直驱/力矩电机为低齿槽高转矩密度而生。
SI 下 \(K_T=K_E\)；\(\tau\)–\(\omega\) 由空载转速（\(V/K_E\)）、电流热限、功率退磁三重限制共同框住，堵转 \(\tau_\text{stall}=K_TV/R\) 只是瞬时上限。
峰值转矩 ≠ 连续转矩：铜热常数定峰值时长、机壳/磁钢热常数定平均损耗，超温还会不可逆退磁。
齿槽转矩由槽极配合与斜角决定，低速平稳性看它；磁编码器装电机旁的顾虑见第 3 章（可标定）。
一体化关节模组与总线舵机是"集成档"，但仍要自查回差、双编码器、热限与额定/峰值分工——集成不消灭选型问题。
反推流程固定：输出需求 →（减速比折算）→ 电机侧转矩/转速 → 三重限制逐条校核 → 热与惯量收口；示例显示连续转矩不达标时该动的是 \(K_T\) 或减速比，不是硬套型号。

参考文献与延伸阅读¶

Hughes, A., & Drury, B. Electric Motors and Drives: Fundamentals, Types and Applications (5th ed.). Newnes, 2019.
Hanselman, D. C. Brushless Permanent Magnet Motor Design (2nd ed.). Magna Physics, 2003.
Siciliano, B., & Khatib, O. (Eds.). Springer Handbook of Robotics (2nd ed.). Springer, 2016. DOI

第 1 章 电机原理与选型¶