第 4 章力与力矩传感¶

位置控制让关节"走到"，力与力矩控制让关节"敢用力"——接触、插拔、碰撞检测、柔顺都要能测到力。这一章讲力的敏感机理谱系、应变片与惠斯通电桥怎么把形变换成电压、弹性体结构如何决定偏载与刚度、6 维力/矩传感的解耦与标定、关节扭矩传感的两条路线，以及温漂、蠕变与带宽这些限制。

它止于器件原理与标定判据：FT 数据流的消费与力位混合/阻抗的任务侧归 manipulation-note 第 8 章与 control-note 第 10 章。示例参数为手算而设、不指某型号；厂商指标标型号，未核实者标「待核实」。

形变到六维力的信号链与限制项：

flowchart LR
    strain["应变片"] --> bridge["惠斯通电桥<br/>形变 → 电压"]
    bridge --> elast["弹性体结构<br/>偏载与刚度"]
    elast --> six["六维 F/T：解耦与标定"]
    six --> lim["限制：温漂 / 蠕变 / 带宽"]

1. 敏感机理谱系¶

把"力"变成可读信号，靠力引起的某种物理量变化：

应变式（strain gauge，主干）：力→弹性体形变→贴在其上的应变片电阻变化。可测静态与动态、量程宽、成本低；受温度与蠕变影响。本节与「应变片与惠斯通电桥」展开。
压电式（piezoelectric）：力→电荷，压电晶体固有高刚度、高带宽，适合冲击/动态力；但电荷会泄漏，不能测静态/准静态力（隔直），配电荷放大器。
电容式：力→极距/介电变化→电容，灵敏、可做微型与触觉阵列；易受寄生电容与湿度干扰。
磁弹 / 磁致伸缩式扭矩：扭矩改变铁磁材料磁导率，非接触测轴扭矩，用于转轴在线扭矩监测。
光纤光栅（FBG）：应变使 Bragg 波长漂移，抗电磁干扰、可多点组阵；解调设备贵。
触觉与阵列式（压阻/电容阵列、视触觉 GelSight / BioTac 类）：分布接触力/接触形貌，器件侧机理属本板块与 manipulation-note 的边界，本章只留一句话。

判据：要静态/慢变力选应变或电容；要高动态/冲击且不需静态选压电；要非接触测轴扭矩选磁弹；强 EMI 或多点位选 FBG。

2. 应变片与惠斯通电桥¶

金属/半导体应变片受应变 \(\varepsilon=\Delta L/L\) 时电阻按应变灵敏度系数（gauge factor, GF）变化：

\[ \frac{\Delta R}{R} = GF\cdot\varepsilon \]

把 4 枚应变片接成惠斯通全桥（两臂受拉、两臂受压，相邻臂反号），输出对激励电压 \(V_\text{exc}\) 的比为

\[ \frac{V_\text{out}}{V_\text{exc}} \approx \frac{GF}{4}\,(\varepsilon_1-\varepsilon_2+\varepsilon_3-\varepsilon_4) \]

四片都按桥臂位置有效工作时，括号内四项同号相加，输出为单片的 4 倍、半桥（两片有效）的 2 倍；相邻臂反号天然做温度自补偿（同温下各片电阻同向漂移，在桥里互抵）。若四片受到同向应变而不做符号布置，相邻臂的贡献相互抵消，这是贴片与接线必须按桥臂符号安排的原因。

GF = 2.0                       # 应变灵敏度系数（示例）
eps = 500e-6                   # 弹性体表面应变 500 με（示例）
Vexc = 5.0                     # 桥路激励电压
Vout = Vexc * GF * eps         # 全桥 4 片有效应变：(GF/4)·4ε·Vexc = Vexc·GF·ε

在 500 με、GF=2、5 V 激励下，全桥输出约 5 mV 量级；mV 级输出要低噪声仪表放大器与屏蔽。GF、激励电压、量程应成组看（满量程应变对应满输出）。

3. 弹性体结构形式¶

传感的是"弹性体的形变"，弹性体几何决定应力分布、刚度、对偏载的敏感度：

柱式/简支梁：结构简单、刚度大、量程高，但对载荷作用点与偏载敏感（轴向力偏心引入附加弯矩，成为误差）。
S 型（双梁）：拉压双向、抗偏载较好，广泛用于称重与单轴力。
轮辐式（shear web）：靠剪应变工作，高度矮、抗侧向与扭转载荷好，适合扁平安装位。
悬臂梁：灵敏（小力大变形）但刚度低、易过载与蠕变。
环式/十字梁：为多分量解耦与对称加载设计。

核心权衡：低刚度→大形变→分辨率好，但抗过载与蠕变差、固有频率低（带宽受限）；高刚度反之。量程、刚度、共振频率、抗偏载四者互相牵制，选型要按测量方向与安装约束一起定。

4. 六维 F/T 传感：解耦与标定¶

一个 6 维力/矩传感器想用一组应变桥同时测 \(F_x,F_y,F_z,M_x,M_y,M_z\)：贴了 \(N\) 个方向不同的桥（\(N\ge 6\)），输出 \(\mathbf{s}\in\mathbb{R}^N\) 与六分量线性相关

\[ \mathbf{s} = A\,\mathbf{f},\qquad \hat{\mathbf{f}} = A^{+}\mathbf{s} \]

\(A\) 是标定/设计矩阵（由贴片几何与灵敏度构成），用伪逆 \(A^+\) 解耦；真实标定用加载已知力/矩的方向组合（含零点与串扰回归）得到 \(A\)（或直接给解耦矩阵）。关键判据是 \(A\) 的条件数：

import numpy as np
## 6 x6 设计矩阵（示例）：第 5、6 测量行近线性相关 → My/Mz 方向病态
A = np.eye(6); A[4] = [0,0,0,0,1.0,0.98]; A[5] = [0,0,0,0,1.0,1.0]
f_true = np.array([1.,2.,3.,4.,5.,6.])
noise  = np.array([0.,0.,0.,0.,0.02,-0.02])       # 差模桥路噪声 0.02 LSB
f_hat  = np.linalg.pinv(A) @ (A @ f_true + noise)

两行只差 0.02，矩阵条件数接近 200，一个 0.02 LSB 的差模噪声就被伪逆放大到力分量上：真值 My/Mz=5/6 被解成约 6.98/4.0。所以一个真 6 分量能解，前提是贴片几何让 \(A\) 良态（并联/十字梁等对称构型为之）。六维 FT 不是"直接测六个量"，是"多桥应变 + 解耦矩阵算出来"，串扰、标定残差、温度对 \(A\) 的漂移都是误差源。

5. 关节扭矩传感¶

机器人关节测扭矩两条路线，特性相反：

电流估计：\(\hat\tau = K_T i\)（第 1 章），零额外硬件；但含摩擦、齿隙、减速器损耗与 \(K_T\) 温漂，低速/保持时估计偏差大，反驱/接触检测精度受限。
输出侧形变测量：在关节输出轴或弹性元件上贴应变片直接测扭矩（或串联弹性关节 SEA 测弹性件形变），避开减速器非线性、精度高，但增加刚度损失、体积与标定工作量。串联弹性分减速器后置（弹性件在输出、测负载扭矩）与前置（在高速轴、灵敏但受减速器摩擦影响）。

这也解释第 3 章双编码器为何常与扭矩传感并用：位置端补偿回差/扭变，力矩端给接触力反馈——高透明度关节（协作/力控）几乎都往"输出侧直测扭矩/力"走。

6. 温漂、蠕变与带宽¶

FT 与扭矩传感的长期可信度由三件事限制：

零点温漂：桥路不平衡随温度漂移（全桥相邻臂反号只补偿同向漂移，残余不对称仍漂）；\(A\) 矩阵元素也随温度变。工程上用温度传感器 + 温补系数，或恒温/贴片机壳均温。
蠕变与滞后：弹性体在恒载下读数缓变（蠕变）、加卸载曲线不重合（滞回）——低刚度弹性体尤甚（见「弹性体结构形式」权衡的另一面）。
噪声、带宽与共振：应变式带宽高，但整机测量链受弹性体结构共振限；采样率要避开共振并按奈奎斯特留裕度（混叠与保持滞后归 control-note），压电式则根本过不了低频/静态。

判据段：选 FT 器件先定"要静态还是动态、量程与过载倍数、允许的刚度与安装空间、温区与是否需要温补"，再回「弹性体结构形式」与「六维 F/T 传感：解耦与标定」选弹性体构型与解耦方案；关节力控的带宽需求反推传感环节的相移与噪声地板（与 control-note 第 10 章阻抗、manipulation-note 第 8 章任务侧交接）。

7. 要点¶

机理按"静/动、量程、环境"分档：应变式通用可测静态、压电只测动态、电容灵敏、磁弹非接触测扭矩、FBG 抗 EMI 可组阵、触觉阵列只留边界。
应变片经全桥：\(\Delta R/R=GF\cdot\varepsilon\)、输出 \(\propto GF\cdot\varepsilon\)，相邻臂反号兼做温度自补偿；mV 级信号要低噪放大与屏蔽。
弹性体构型是"刚度↔分辨率↔抗偏载↔共振带宽"的多目标折中：柱式刚度大量程高但怕偏载、轮辐式抗侧载、悬臂梁灵敏却易蠕变。
六维 FT 靠解耦矩阵 \(A\) 与伪逆算出来，不是直接测六个量；\(A\) 条件数决定哪两个分量分不开，串扰/标定残差/温漂进 \(A\) 都是误差。
关节扭矩：电流估计省事但含减速器非线性，输出侧形变直测精度高；与第 3 章双编码器协同构成高透明度关节。
长期可信度卡在零点温漂、蠕变滞后、结构共振限带宽；压电式测不了静态。

参考文献与延伸阅读¶

Siciliano, B., & Khatib, O. (Eds.). Springer Handbook of Robotics (2nd ed.). Springer, 2016. DOI
Doebelin, E. O., & Manik, D. N. Measurement Systems: Application and Design (6th ed.). McGraw-Hill, 2019.

第 4 章 力与力矩传感¶