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第 6 章 状态反馈与现代控制

PID 只看一个输出，状态反馈看全部状态。当被控对象不止单回路、或输出不足以描述动态时，把 \(x\) 反馈回去（\(u=-Kx\)）比在输出上做文章更直接。本章从可控性出发，讲极点配置为何"可控即可任意配"，把 LQR 的代价权重与极点形态对上，走通离散 Riccati 的实现，最后给出"什么时候值得从 PID 升级到状态反馈"与"状态测不全时怎么办"的判据。运行环境 python 3.11 + control 0.10.2。

从可控性到增益的两条路，以及状态测不全时的补口：

flowchart LR
    ctl["可控性判据"] --> pp["极点配置<br/>可控即可任意放"]
    ctl --> lqr["LQR<br/>代价权重 ↔ 极点形态"]
    pp --> u["u = −Kx"]
    lqr --> u
    u --> loop["闭环：对象 + 状态反馈"]
    obs["状态测不全 → 观测器"] -.->|"补全 x̂"| u

1. 可控性：能不能配极点的前提

状态空间 \(\dot x=Ax+Bu\)。可控性矩阵 \(\mathcal{C}=[B,\ AB,\ A^2B,\dots,A^{n-1}B]\)，满秩（秩=\(n\)）⇔ 任意极点可配。双积分 \(A=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\)：

可控性矩阵 C=[B AB]=[[0,1],[1,0]]  秩=2 (=n, 完全可控)
A=diag(1,2), B=[1;0]: 可控性秩=1 (<2) —— λ=2 的模态不可控

第二个例子是可控性的要义：\(B\) 只激励 \(e_1\) 方向，\(A\) 的两个特征向量恰是坐标轴，\(\lambda=2\) 那条模态 \(B\) 够不着，无论怎么反馈都改不动它。判据的两种等价说法：秩检验（数值直接），或 PBH 检验（\(\lambda I-A\) 不可逆时 \(\mathrm{rank}[\lambda I-A\ \ B]=n\)，即没有与 \(B\) 正交的左特征向量）。工程后果直白：不可控模态若本身不稳定，任何状态反馈都救不了，只能在物理层改执行器布置。（对偶地，可观测性决定观测器能否估计全部状态，展开归第 9 章「里程计与观测器」。）

2. 极点配置：可控即可任意放

对单输入可控对 \((A,B)\)，\(u=-Kx\) 使闭环极点 = \(\det(sI-(A-BK))\) 的根，且 \(K\) 与期望极点一一对应。双积分上这个对应能手算：闭环 \(A-BK=\begin{bmatrix}0&1\\-k_1&-k_2\end{bmatrix}\)，特征多项式 \(s^2+k_2 s+k_1\)——\(k_1\) 定"弹性"、\(k_2\) 定"阻尼"，与期望多项式系数逐项相等即可。

解析 K=[k1,k2]=[1,2] -> 闭环特征值=[-1, -1]         （(s+1)²=s²+2s+1）
place 期望极点[-2,-3] -> K=[6, 5] 特征值=[-2,-3]    （(s+2)(s+3)=s²+5s+6）

control 的 place（对偶用 Ackermann/acker）走的是多输入稳健算法，单输入重根情形会报"重复极点超过 rank(B)"，此时直接用系数匹配更稳（本例 place(A,B,[-1,-1]) 失败、手算 \(K=[1,2]\) 成功）。极点配置把第 1 章「线性系统与时域分析」的 \(\zeta,\omega_n\) 与第 4 章「频率域与鲁棒性」的裕度统一成"选闭环极点"一个动作——但"任意选"不"最优选"，代价藏在控制量里，这正是 LQR 补的课。

3. LQR：代价权重与极点形态

LQR（linear-quadratic regulator）不指定极点，而是最小化二次代价 \(J=\int(x^\top Qx+u^\top Ru)\,dt\)，解 \(A^\top S+SA-SBR^{-1}B^\top S+Q=0\)（连续代数 Riccati 方程，CARE）得 \(K=R^{-1}B^\top S\)。权重的物理意义在双积分（\(x=[p,v]\)）上一眼看穿，取标量 \(R=1\)：

Q=I,          R=1:  K=[1.000, 1.732]  极点=-0.87±0.50j  （欠阻尼，有振荡分量）
Q=diag(1,10), R=1:  K=[1.000, 3.464]  极点=[-0.32, -3.15]（过阻尼，速度状态更罚）
Q=diag(1,100),R=1:  K=[1.000,10.100]  极点=[-0.10, -10.0] （强过阻尼，出现慢尾）
Q=I,          R=10: K=[0.316, 0.856]  极点=-0.43±0.36j    （省控制量，增益整体降）

三条规律：\(Q\) 对角权重量纲是"该状态偏差多大不能忍"——加大速度权 \(q_2\)，阻尼增益 \(k_2\) 上升、极点从复平面共轭对分到实轴（欠阻尼→过阻尼），但 \(q_2\) 过大反而甩出一个慢极点（−0.1）造成拖尾。

\(R\) 是"控制量代价"——加大 \(R\) 整体增益缩、闭环变慢，但省执行器、抗饱和。

\(Q,R\) 缩放等价：\((Q,R)\to(\alpha Q,\alpha R)\) 不改 \(K\)，所以只有比值有物理意义，标定时应固定一个、扫另一个。LQR 的解析解同样可算：双积分 \(Q=I,R=1\) 有 \(k_1=1\)、\(k_2=\sqrt3\approx1.732\)，与数值全对上。

4. 离散 Riccati 实现最小样

计算机里的 LQR 用离散代数 Riccati（DARE）。以 \(\Delta t=0.01\) s 把双积分 ZOH 离散得 \((A_d,B_d)\)，解 DARE 取 \(K_d\)：

sys = ct.ss(A, B, np.eye(2), 0)
Ad, Bd = ct.c2d(sys, 0.01).A, ct.c2d(sys, 0.01).B
S = ct.dare(Ad, Bd, np.eye(2), np.eye(1))          # 0.10 dare 返回 (P, ...) 元组
P = S[0]
K_d = np.linalg.solve(Bd.T @ P @ Bd + np.eye(1), Bd.T @ P @ Ad)

离散最优 K_d=[0.9914, 1.7221]   连续 K=[1.000, 1.732]   （dt 小则接近）
DARE 残差 ||A_dᵀPA_d - P - A_dᵀPB_d(B_dᵀPB_d+R)⁻¹B_dᵀPA_d + Q|| = 2.6e-14

两个 API 坑要点名：control 0.10 的 dare 返回三元组而非裸矩阵（须取 [0]）；lqr 返回 \((K,S,E)\) 三元组（增益、解、闭环极点）。DARE 残差在 1e−13 量级是对 \(P\) 的直接自检——写进正文的每个 Riccati 解都该这样验一遍残差，而非盲信库返回值。离散 \(K_d\) 与连续 \(K\) 在 \(dt=0.01\) 下差约 1%，符合"采样足够快时离散≈连续"；dt 再大就会显著偏离，此时必须用离散 \(K_d\)，不能拿连续增益硬套（呼应第 1 章「线性系统与时域分析」的"两边的离散化各做各的"）。

5. 从 PID 升级到状态反馈的判据

不是所有回路都该上状态反馈。升级值得与否，看三条：

触发条件 为何 PID 吃不住 状态反馈/LQR 的优势
对象阶数 ≥2 且各状态都测得到 PID 只在单输出上动作，高阶对象两极点难同时安置 直接对每个状态配增益，极点任意
多输入多输出（MIMO，如多关节） 每关节独立 PID 丢耦合（第 2 章「执行器与刚体模型」的 20% 摄动） 单一 \(K\) 矩阵吃全状态，天然处理耦合
有明确的代价取舍（快 vs 省力矩） 手动权衡增益，无最优性 \(Q/R\) 把取舍写成优化，\(K\) 最优

反过来，单输入单输出、对象近似一阶或二阶、只有位置可测时，PID（外加第 3 章「PID 工程」的前馈与抗饱和）就够，硬上状态反馈只是自找观测器负担。

经验落点：桌面三轴、单关节位置环——PID；多轴协同、需最优分配控制量——LQR。带约束、要在线预测未来——那是 MPC，归第 10 章「交互控制与模型预测」。纯状态反馈 \(u=-Kx+kb\,r\) 对阶跃参考仍有静差，需一个标量前馈缩放 \(kb\) 补足直流增益（本例 \(kb=1\)，恰等于 \(k_1\)），或加积分器（升维，把 I 并进状态）——后者是 LQR 与 PID 的合流点，称积分 LQR（iLQR 的名字与本章连续 LQR 易混，此处指带积分状态的 LQR）。

6. 状态测不全：观测器一句名目

状态反馈要全 \(x\)，但常只有部分可测（如只测位置不测速度）。此时用观测器 \(\hat{\dot x}=A\hat x+Bu+L(y-C\hat x)\) 估计 \(x\)，把 \(u=-K\hat x\) 顶替 \(-Kx\)。仅测位置（\(C=[1,0]\)）时，对偶地配观测误差极点：

观测器增益 L=[8, 15]ᵀ，观测误差动力学 (A-LC) 特征值=[-5, -3]（快于控制器极点 → 估计快速收敛）

分离原理（控制器 \(K\) 与观测器 \(L\) 可各配各的、闭环极点为两者并集）在标称线性定常下成立，但模型失配或未建模延迟会让它失效——一个仿真反例与降阶观测器、卡尔曼滤波的关系都在第 9 章「里程计与观测器」展开，本章只把"测不全就用观测器补"这条路点名。

7. 要点

  • 可控性（\(\mathcal{C}\) 满秩）是配极点的前提；不可控且不稳的模态任何反馈都救不了（本例 \(\lambda=2\) 模态够不着）。
  • 单输入可控即任意配极点：双积分 \(s^2+k_2s+k_1\) 系数匹配最直观，重根用系数匹配而非 place（后者报重复极点错）。
  • LQR 用 \(Q/R\) 比值定极点形态：速度权 \(q_2\) 升→过阻尼但可能甩慢尾，\(R\) 升→增益降更保守；\((Q,R)\) 同乘不改变 \(K\)。
  • 离散 LQR 走 DARE，dare/lqr 在 0.10 都返回元组须取元、解算残差自检（1e−13 量级）；dt 大时须用离散 \(K_d\)，勿套连续增益。
  • 升级判据：MIMO/高阶/有代价取舍才上状态反馈，SISO 低阶可测全时 PID+前馈更省；纯反馈有静差须 \(kb\) 前馈或加积分状态。
  • 状态测不全用观测器补（分离原理），其失效边界与卡尔曼滤波归第 9 章「里程计与观测器」。

参考文献与延伸阅读

  • Anderson, B. D. O., & Moore, J. B. Optimal Control: Linear Quadratic Methods. Prentice Hall, 1990.
  • Doyle, J. C., Glover, K., Khargonekar, P. P., & Francis, B. A. State-Space Solutions to Standard H2 and H-infinity Control Problems. IEEE Transactions on Automatic Control, 1989. DOI
  • Åström, K. J., & Murray, R. M. Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers (2nd ed.). Princeton University Press, 2021. 书籍主页